Верно: гонение на христиан и гонения на христиан.
Такое сокращение вряд ли будет уместным. Если нужно сократить, то лучше написать только фамилию: Андерсен, сказки Андерсена (но не Ганса Андерсена).
Корректно написание со строчной.
Корректно: крещение у христиан, среди христиан таких-то конфессий.