В «Морфемно-орфографическом словаре русского языка» А. Н. Тихонова (М., 1996) в слове родник корень -род- не выделяется, корнем считается все слово. Однако этимологически слова род, родить, родник связаны. Существительное родник исторически образовалось от родный 'рождающий'. Родник мыслился как источник, рождающий реку.
Допустимы варианты переноса пол-дник, полд-ник.
Следует руководствоваться правилами написания географических названий.
Дело в том, что слова обманчиво похожи внешне, но имеют принципиально разные значения.
Например, фонтан.
Здесь сравнительный оборот что родник без воды играет роль сказуемого, поэтому запятая не ставится.
Да, конечно. Это основное значение предлога у.