Об Интернете: Всемирная паутина.
Пусть картина повисит (побудет) здесь.
Склоняются все компоненты этого имени: Мартина Лютера Кинга.
Верно с прописной: Танина вещь.
Правильна форма родительного падежа (первый вариант).
Корректно дефисное написание.
Об Интернете правильно: Всемирная сеть, Всемирная паутина.