Верно: ежиный нос и нос ежа.
Трудно судить о корректности фразы, не зная ее смысла. Пожалуйста, поясните значение.
Правильное написание названия праздника: Новый год.
Рекомендуем воспользоваться окном «Искать на Грамоте» на нашем портале.
Да кавычки нужны, при этом предпочтительно использовать кавычки разного рисунка: ООО «Риелторское агентство "Новый квартал"».