В обоих случаях следует писать одно н.
Два н требуется, например, в случае: томаты, тушенные с яблоками.
Если капуста тушилась отдельно от грибов, то Вы написали верно. Если капуста и грибы тушились вместе, то верно: капуста, тушенная с грибами.
Верно: учиться этой специальности, обучаться по специальности, приобретать специальность.
Правильно: мучиться (неопределенная форма); мучится и допустимо в разговорной речи мучается (форма 3-го лица ед. числа).
Здесь правильно раздельно: и так.
См. в «Письмовнике».
Это, действительно, лишнее слово.
Запятая нужна.