Правильно: тихой сапой. Об этом выражении см. в «Справочнике по фразеологии».
Верно склонение без выпадения гласной: нет Шагола.
Кавычки не требуются.
Можно.
Рекомендуем писать в кавычках с маленькой буквы: лестница с «гусиным шагом», лестница «гусиный шаг», лестница «баттерфляй».
Запятая не требуется.
Фраза очень неудачна.
А какой выбор Вы как носитель русского языка считаете единственно правильным?
В обоих случаях верное написание.