Правильно: терпению.
Возможны варианты: всякому терпению (общеупотребительный, стилистически нейтральный) и всякому терпенью (в разговорной и поэтической речи).
Если это географическое название, то нужно уточнить написание в атласе или географическом справочнике.
Пунктуация верна, а вот оборот "отсыхют вопросы" - неудачен.
Верно: Сестра теряет терпение и, будучи суетливой, бежит навстречу.