Это название не официальное, рекомендуем писать с маленькой буквы и с кавычками: тайваньский «ракетный кризис».
Оба ответа корректны.
Оба слова можно использовать, но с разными оттенками значения. Обратите внимание, что "тайваньская кухня" пишется строчными буквами.
Можно возражать против чего-л. и на что-л.
Термин международного права: преступление против человечности (англ. humanity). Но в словарях и энциклопедиях также отмечается перевод преступление против человечества.
Корректно написание без кавычек.