Корректно: не проходило и недели, чтобы...
Слово счастлив требует формы творительного падежа, например: Он счастлив сознанием того, что нужен людям. В Вашем примере местоимение не требуется, лучше сказать: ...я счастлива, что он стал проводить с дочерью больше времени...
Выражение счастлив что-то делать/сделать корректно и широко употребляется: счастлив сообщить о чем-то, счастлив работать с кем-то, счастлива делиться чем-то.
Второй указанный Вами вариант также корректен.