Это устойчивое выражение, поэтому употребляется форма ед. ч. даже по отношению к нескольким лицам: Не сносить тогда вам головы.
Корректно: политологи ломают голову.
Ложись – форма повелительного наклонения глагола ложиться. Этот глагол (и эта форма глагола) соответствует литературной норме.
Существует, но не в литературном языке. Ложить – просторечие.
Правильно: Численность коров составила пятьдесят одну голову.
Да, это корректное сочетание.
Возможны оба варианта (с учетом контекстных различий).
Правильно: класть, положить.
Корректно: кружить голову кому-либо.