Склоняются все части: в Северном Рейне – Вестфалии. Между частями названия ставится тире.
Эти сочетания пишутся с маленькой буквы.
Правильно: по развитию Северной Осетии – Алании. Обратите внимание: между частями названия ставится тире (не дефис).
Верно: пол Северной Америки.
Имя собственное может выражаться словосочетанием. Но в Ваших примерах именами собственными являются только слова Тихий и Северное.
Правильно: в Северной и Южной Корее.
Корректно: по "Северному измерению".