Корректно: всемирная история.
Корректно: истории изобретений.
Слитное написание корректно.
Лучше все-таки: истории болезни.
По основному правилу между частями сложносочиненного предложения ставится запятая. Поставить вместо этой запятой тире тоже можно, так как вторая часть предложения имеет значение следствия, результата.
Слово история лучше выделить запятыми, а не заключать в скобки.
Употребительнее: история о чем-либо.
Во всех приведенных Вами примерах верно написание строчными.
Обратитесь, пожалуйста, к любой популярной энциклопедии (например, к русской Википедии).
Правильно: история всплыла; история выплыла наружу.
Лучше обойтись без слова «предмет»: за особые успехи в изучении истории. Если слово «предмет» всё же необходимо, то история не склоняется: за особые успехи в изучении предмета ИСТОРИЯ.