Уместно написание обоих слов с большой буквы в этом сочетании.
Кавычки не нужны.
Верно: памяти оставшихся в горах.
Верен первый вариант.
Запятые не нужны: Он по старой памяти покровительствует данной организации.
Можно так: Жаль, что в памяти нет кнопки "забыть".
Нужна запятая перед посвященная.