Возможны варианты управления: откушать что и откушать чего. Выбираете Вы.
Оба варианта верны. В составе устойчивого выражения: надеяться на русский авось.
Написание без кавычек корректно.
Правилен второй вариант. Аналогичные примеры можно найти в «Письмовнике».
Сказать можно, но это грамматически неправильно.