Верно: новогодние и рождественские праздники.

Корректно написание со строчной буквы.

Слово Рождественский пишется с большой буквы, если начинает собой сочетания, связанные с Рождеством как христианским праздником, с церковным календарем (т. е. имеющие прямую связь с религией), например: Рождественская звезда (библ.), Рождественская ночь, Рождественский пост, Рождественский сочельник. Но ср. написание строчными в таких сочетаниях: рождественские морозы, рождественские каникулы.

Правильно: Рождественские чтения (с прописной буквы как собственное наименование).

Если это не название какого-либо культурного мероприятия, приуроченного к Рождеству (ср.: «Рождественские встречи»), правильно написание строчными: рождественские дни. Но: Рождественская ночь, Рождественский сочельник.

Возможны разные способы переноса. Например: Ро-жде-ство, ро-жде-ствен-ский.

В прилагательном рождественский суффикс -енск-.