Наш словарный отдел с благодарностью принимает все сообщения об опечатках. Надеемся, что удастся всё исправить.
Есть две версии происхождения слова радуга: 1) переоформление слова райдуга, которое является сложением слов рай и дуга (ср. жар-птица); в таком случае радуга буквально 'пестрая дуга' (ср. диал. раек 'радужная оболочка глаза'); 2) производное от основы рад-.
Корректно: диагноз рак (нет знаков препинания между определяемым словом и приложением); Диагноз - рак (тире ставится между подлежащим и сказуемым).
Возможны оба варианта.
Согласно «Русскому орфографическому словарю» РАН (4-е изд., М., 2012), правильно слитное написание: базальноклеточный.
Предпочтительно склонение без выпадения гласной: Баёка.
Мужская фамилия Рак склоняется как соотносительное нарицательное существительное.