СО РАН (отделение) обязано.

Директор – должность, академик – звание, доктор наук – ученая степень. Наименования ученых степеней и ученых званий и почетные звания выступают в общем ряду как однородные приложения. А должность и звание – неоднородные приложения. Поэтому первая запятая не нужна, вторая нужна: директор Института Европы РАН академик РАН, д. э. н. Николай Шмелев.

Лучше всего использовать такой вариант: Совет при Учреждении Российской академии наук «Вычислительный центр РАН».

Безусловно, каждый лингвист - составитель словаря - это прежде всего человек, у которого есть свое мнение и который не в силах игнорировать собственный языковой вкус. И каждый пользователь имеет право выбора, какому словарю доверять. По мнению «Справочного бюро», среди современных орфографических словарей «Русский орфографический словарь РАН» заслуживает доверия в наибольшей степени, поскольку он опирается на многолетнюю академическую традицию, заложенную еще в середине прошлого века, а в его редакционный совет входят российские лингвисты с мировым именем, доктора филологических наук, академики РАН и РАО.

Правильно: Институт русской литературы РАН (Пушкинский Дом).

Выбор буквы зависит от того, как функционируют эти организации, насколько можно о них говорить как о самостоятельных организациях или как о частях организаций. Дело в том, что названия частей и отделов учреждений, организаций, а также слова типа президиум, ученый совет, совет директоров, правление и др. пишутся строчными (совет директоров ОАО «РЖД»). Если организации, о названиях которых Вы спрашиваете, обладают всё же самостоятельностью, пусть и находясь в структуре СО РАН, СПР России (т. е. они ближе к официальным названиям общественных  организаций, чем к названиям частей учреждений), то корректно написание с прописной: Совет молодых ученых СО РАН, Совет молодых литераторов Союза писателей России.

См. ответ на вопрос № 237360.

Изменения к правилам правописания, предложенные Орфографической комиссией РАН, пока не приняты. Поэтому выход нового свода как общеобязательного документа, определяющего нормы письма, пока откладывается. Однако уже в этом году в издательстве «ЭКСМО» должен выйти полный академический справочник «Орфография и пунктуация», в котором будут подробно изложены действующие правила русского правописания.

Желательно не допускать такой перестановки, поскольку читатель может посчитать, что имя Благонравова присвоено РАН.

В подобных случаях название института следует писать в кавычках и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт серпа и молота», директор Учреждения РАН «Институт серпа и молота».