Лучше: руководитель группы.
Правильно: останется в рабочем состоянии. В этом предложении требуется форма предложного падежа: в состоянии. Другой вариант неверен.
Прежде всего следует принять во внимание то, в каком предложении употреблено это словосочетание и какое значение оно выражает. Вне контекста давать грамматическую характеристику слову не следует. Допускаем, что слово палочек может быть дополнением, обозначающим объект действия «упаковка».
Корректно: в предместье Рабочем.
Корректно: нажатием на ярлык, находящийся на рабочем столе...
Верно: найти двух одинаковых бабочек.
Оба варианта неудачны: непонятно, кто кого контролирует (руководство предприятия контролирует рабочую группу? руководство контролирует предприятие рабочей группы? предприятие контролирует руководство рабочей группы?).
В рабочем порядке – не отрываясь от работы; во время работы; оперативно.