Правильно: принцесса Диана.
Правильно, как Вы верно указываете, на берегу. В русском языке есть несколько существительных второго склонения с таким окончанием в предложном падеже со значением места. Ср.: о береге - на берегу, о носе - в носу, о саде - в саду. Падеж один и тот же, окончания (в зависимости от значения падежа) - разные.
Как сочетание с приложением: принцесса-красавица.
Лучше: дни рождения филиалов на правом и левом берегу.
Имя Нукада склонять не принято; в поэтических переводах это имя остается несклоняемым.
Корректен вариант с родительным падежом.
См. ответ на вопрос № 279720.
Верно: нет остриёв.