Правильно только приложите, по-другому написать нельзя.
Да, можно.
Правильно: к обеим ногам.
Корректно: приложить усилия к чему-либо (к исследованию).
См. ответ на вопрос № 260740.
Правильно: вцепился в руку.
Первый вариант предпочтителен.
Можно и передать эстафету (это делает тот, кто отдает эстафетную палочку) и перенять (это делает тот, кто ее принимает).
Глагол заключается может выступать как синоним связочного глагола быть.