Ошибок здесь нет.
Запятую нужно поставить.
Корректно: поддерживать под мышками, поддерживать за подмышки.
Кавычки не нужны.
Требуется раздельное написание.
Лучше: принять чью-либо сторону (в споре, конфликте).
Постановка запятой не обязательна в этом случае.