Лучше: работу. Также обратите внимание на окончание в слове порученный: для выполнения действий (каких?) порученных.

Корректно: Учитывая, что дело поставлено на контроль, прошу организовать работу следователей Иванова и Сидорова без ущерба для выполнения порученных им руководителем группы действий по другим уголовным делам.

Учительница неправа. Здесь два субъекта действия: один поручил, второй будет готовить. Поэтому поручили приготовить не может быть сказуемым. Сказуемое – поручили, а приготовить – дополнение.

Верно: Президент поручил кабмину (Правительству).

Слова скорее всего обособляются как вводные.

Верно: дать поручение (=поручить); издать поручение (=опубликовать). 

Правильно: завтра моя смена. Фамилия Чурило не склоняется.

Обе формы сказуемого корректны.

Сочетание неудачно. Возложить можно руководство, обязанности, то есть поручить кому-то что-то. 

Если название филиала не склонять, то его нужно писать в кавычках. Но если все сочетание выступает как единое название организации и кавычки в нем не употребляются, то второй компонент нужно поставить в ту же форму, что и первый: поручено Рыбинскому филиалу АО «Воентелеком» – 190 центральному ремонтному заводу средств связи.