Правильно: помериться силой и силами.
Можно поделиться новостями (информацией) о событиях, но не самими событиями.
Верен второй вариант.
Правильно: в теплой ванне (в емкости с теплой водой). В теплой ванной означает "в теплом помещении с ванной".
Правильно: помериться силой и силами.