Географические термины пишутся с большой буквы: Западное полушарие, Восточное полушарие.
Сочетание первое полугодие корректно.
Оба варианта корректны, выбор зависит от смысла и контекста.
Возможны варианты: первое полугодие, 1-е полугодие, I полугодие.