Первое слово стилистически нейтральное, второе — разговорное. 

Подыматься – разговорное слово. В живой устной речи его использование возможно, но на письме (тем более в официальных документах) это слово употреблять не следует.

Речь идет о балладе Шиллера «Порука» (1798), повествующей о том, как приговоренный к казни Дамон умолил отсрочить ее на три дня, чтобы выдать замуж сестру, а его друг Пифиас согласился пробыть эти дни в тюрьме в качестве заложника. Препятствия, задержавшие Дамона, едва не стоили его другу жизни. Потрясенный силой дружбы тиран Дионисий (историческое лицо — Дионисий Старший, тиран сиракузский; 406—367 гг. до н. э.) прощает Дамона, прося друзей включить его третьим в их союз.

См. примечания к роману в: Гончаров И. А. Обыкновенная история: Роман в двух частях // Гончаров И. А. Полное собрание сочинений и писем: В 20 т. — СПб.: Наука, 1997—... Т. 1. Обыкновенная история. Стихотворения. Повести и очерки. Публицистика, 1832—1848. — 1997.

Например: с какой целью? зачем?

Под гору означает спускаться. Под гору – вниз, в гору – наверх.

Запятая не ставится.

Употребительно: подняться на лифте, воспользоваться лифтом. Но: курить в лифте.

По основному правилу тире не требуется.