К сожалению, нам не удалось выяснить, какое из этих сочетаний выступает в качестве терминологического в спортивной гимнастике.

Верно: подъем плеч, отведение плеч.

В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова (М., 2002) в этом слове выделен корень подъём-.

В официальных документах принято такое написание: Государственная Дума, Московская областная Дума.

Кавычки уместны.

В слове подъём можно выделить приставку под- и корень -ём-. Приставка в слове имеет свойственное ей значение направленности действия, движения снизу вверх. Корень -ём- выделяется при сравнении со словами разъем, отъем (от отнять). В корне происходит чередование, ср.: поднять — поднимать — подъем. 

Если спуск и подъем - это физически две разные конструкции, то лучше использовать формы множественного числа.