Пары родственных слов, содержащих неполногласные и полногласные сочетания: вран - ворон, брада - борода, власы - волосы, млечный - молочный, платок - полотно, прах - порох.
Верно: павловопосадский (от Павловский Посад); но: Павлово-Посадский район.
Условие замены - наличие грамматических синонимов (например: шелковый платок - платок из шелка).
Выход бывает запАсный и запаснОй. Подробнее здесь.
Правильно: платок на рту.
Нет, здесь разные чередования. В первом случае, вероятно, Т - Щ (ср.: платок; но это сближение историки языка считают "темным"), во втором К - Ч (ср.: плакать).