В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова выделяется корень сосуль- в слове сосулька.
Нет, правильно только на весу. В корне этого слова происходит чередование гласных: под ударением и в безударной позиции пишутся и буква е (вешать, вывесить), и буква и (виснуть, висюлька). Правило можно посмотреть здесь (см. правило 2).