Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Оба сочетания возможны, выбор предлога зависит от контекста. Ср.: за весь срок действия заграничного паспорта так ни разу и не выехал из России и эти условия распространяются на весь срок действия договора.
Правильно: Песнь песней.
Правильно: микроволновая печь.
Оба слова (весь день) являются обстоятельством времени.