Обратитесь, пожалуйста, к учебному пособию: http://www.gramota.ru/book/litnevskaya.php?part4.htm#i7
Правильно: в грязи, о грязи.
Да, предлог по употребляется с предложным падежом при указании действия, события, после которого что-либо совершается: по приезде друга, по возвращении из отпуска, по окончании спектакля.
Правильно: в Сергиевом Посаде.
Это переходный глагол.