Верно: Верх-Нейвинский.

В первом случае кавычки обязательны. В последующих вариантах постановка кавычек зависит от конкретного названия.

Прилагательное от Ростов-на-Дону – ростовский, от Комсомольск-на-Амуре – комсомольский и (в официальных названиях учреждений, организаций) комсомольский-на-Амуре, например: Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет.

Правильно: открытому акционерному обществу «Племенной завод "Такой-то"».

Корректно: Посетили экскурсии в парке «Патриот», на заводе...

Второй вариант лучше, поскольку он устраняет названную Вами неоднозначность фразы.

Орфографически верно: завод «Красный вымпел». В названиях организаций, предприятий, состоящих из родового наименования и наименования, не сочетающегося с ним синтаксически, последнее заключается в кавычки и в нем пишутся с прописной буквы первое (или единственное) слово и собственные имена. Но в документах название организации должно быть написано так, как оно было зарегистрировано.

Название, заключаемое в кавычки и не сочетающееся синтаксически с родовым словом, не склоняется. Правильно: генеральному директору ОАО «Верхнебаканский завод». Вот если бы родового слова не было, название склонялось бы: генеральному директору Верхнебаканского завода.