Лучше с инфинитивом: намерение сотрудничать.
Следует переформулировать, например: Благодарим Вас за инициативу, проявленную в ходе сотрудничества; Благодарим за инициативу и сотрудничество.
В постановке запятой нет необходимости.
Фраза неудачна, лучше перестроить.
Правильно: ООО... радо сотрудничеству.
Да, верно.
Мы не рекомендуем использовать ни один из этих вариантов: стилистически они небезупречны.