Правильно: собравшись с духом.
Правильно: озеро Горных Духов (если таково действительное, «официальное» наименование озера, а не его образное название).
Устойчивое сочетание ни сном ни духом пишется без запятой.
Правильно раздельное написание: дуб дубом.
Возможны варианты, но предпочтительнее ставить ударение на первый слог (именно так говорят в Карелии).
Верно: подать иск к кому-либо.