Обычно пишут: охраняется государством. Охраняется законом = в составе законодательной системы имеется закон об охране. Охраняется по закону = охраняется на законных основаниях, законно, без нарушений законодательства.
Действительно, нужно поставить запятую.
Согласно словарям русского языка, здравоохранение – охрана здоровья населения, предупреждение и лечение заболеваний, поддержание общественной гигиены и санитарии как система государственных и общественных мероприятий. Применительно к животным термин здравоохранение не следует использовать. Корректно: охрана здоровья животных.
Грамматические конверсивы - это прежде всего соотносительные формы залога в действительном и страдательном оборотах: Государство охраняет памятники культуры - Памятники культуры охраняются государством.
Лексические конверсивы - слова, передающие двусторонние субъектно-объектные отношения. Например: Наши хоккеисты превосходят соперников в скорости - Соперники уступают нашим хоккеистам в скорости; Брат старше сестры - Сестра младше брата.