Правильно: за бОртом.
Слитное написание частицы НЕ с последующим прилагательным корректно.
Корректная пунктуация: Пытаться вспомнить, рабочий сегодня день или можно остаться в кровати, тоже не хотелось.
Это выражение не является фразеологизмом.
Буквально: не запачкаться, не замараться. В переносном смысле: не запятнать репутацию.
Верно: Что будет, останься он дома один?
Верно: остаться незамеченным.
Лучше просто заменить тире на запятую.