Тире здесь возможно как интонационный знак (при интонационном членении предложения). Решение принимает автор текста.
Лучше: не увидев политической опоры.
Верно: шаровАя.
Да, название «ОПОРА РОССИИ» в родительном падеже: «ОПОРЫ РОССИИ».
Оба варианта возможны.
По основному правилу тире не требуется.
Оба варианта возможны, употребление родительного падежа преобладает.
Вновь мы должны повторить, что рецепт "разнообразить текст синонимами" не является универсальным. Действительно, в большинстве случаев лексический повтор - это ошибка. Но иногда (в инструкциях, официальных документах и проч.) требуется единообразие текста.