Тире здесь возможно как интонационный знак (при интонационном членении предложения). Решение принимает автор текста.
Верно: шаровАя.
Да, название «ОПОРА РОССИИ» в родительном падеже: «ОПОРЫ РОССИИ».
Лучше: не увидев политической опоры.
Оба варианта возможны.
По основному правилу тире не требуется.
Вновь мы должны повторить, что рецепт "разнообразить текст синонимами" не является универсальным. Действительно, в большинстве случаев лексический повтор - это ошибка. Но иногда (в инструкциях, официальных документах и проч.) требуется единообразие текста.
Оба варианта возможны, употребление родительного падежа преобладает.