В официальных бумагах: Президент России. Неофициально: президент России, российский президент.
Правильно: работы по перетяжке.
Правильно: Азиатские игры.
Корректно: Американо-мексиканская война (с прописной как название исторического события).
Корректно: Дельфийские игры.