Падеж - признак слова, а не фразы. О каком слове Вы хотите спросить?
Устойчивое сочетание: внести предоплату. Можно сказать и осуществить предоплату.
Разработать дизайн можно.
Правильно: посредством заимствования.
Возможно единственное и множественное число сказуемого. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».