В сочетании с союзом А уместен вариант написания с частицей НЕ: а не кому другому.
Корректно: вверить жизнь кому? врачу.
Возможны оба варианта.
Оба варианта правильны.
Если слова все что хочешь используются в значении "что угодно, абсолютно все", то верная пунктуация такая: Им можно все что хочешь рассказать, и они поверят.
Всякое возможно, иногда в пособиях встречаются ошибки и опечатки.