Правильно: Барак Обама. Обоснование см. здесь.

Фамилию избранного президента США нужно склонять.

Да, фамилия склоняется.

Корректно: обамомания.

Следует писать с большой буквы. Написание имен во мн. ч. со строчной буквы возможно как экспрессивно-стилистический прием.

Форма имени Хусейн зафиксирована в «Справочнике личных имен народов РСФСР» (М., 1987) для карачаево-балкарского языка. Справочник предназначался для ЗАГСов и используется до сих пор. Судя по «Словарю собственных имён русского языка» Ф. Л. Агеенко, форма с одним с распространена и для передачи имен других восточных языков. В СМИ и в литературе встречается и форма имени Хуссейн, например именно две с пишется в имени 44-го президента США в «Большой российской энциклопедии» Ба­рак Хус­сейн Обама. Интересные данные предоставляет нам электронный каталог Российской государственной библиотеки: в нем найдено 13 741 результатов для запроса Хусейн, и 3 258 — для Хуссейн. Но нужно иметь в виду, что в выборку входит не только имя или отчество, но и фамилия. 

Оба сочетания правильны.

Корректно: в период руководства Обамы страной.