Верно без предлога: богата чем.
Правильно: восьмисотшестидесятилетняя.
Запятая не нужна: Жирная рыба, например лосось, богата полезными веществами. Здесь необходимо руководствоваться следующим правилом: если вводное слово стоит в начале или в конце обособленного оборота, то никаким знаком от оборота оно не отделяется.
Правильно: род. – Лопаты, дат. – Лопате, вин. – Лопату, твор. – Лопатой, предл. – (о) Лопате.
Правильно: к обеим ногам.
Правильно: Патетическая соната Бетховена.
Тире нужно: Не жили богато — нечего начинать.
Знаки препинания расставлены верно.