Нет, верно: начать учиться читать.
Воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте».
Используется глагол уснуть (заснуть), в семантике которого заключена непроизвольность, постепенность и завершенность действия. Поэтому употребление конструкции "начать спать" оказывается избыточным (хотя и не ошибочным).
Запятая стоит верно.
Запятая поставлена верно.
Запятая ставится.
Разница исключительно грамматическая: начать – совершенный вид, начинать – несовершенный. Эта разница видна на примерах: я начинаю (сейчас), я начну (скоро).