Во избежание двусмысленности лучше сказать: в магазине "Солнечный рай".
См. ответ на вопрос № 237360.
Это имя собственное склоняется, форма винительного падежа: Жан-Клода Ван Дамма (см. «Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко).
Правильно с прописной, кроме последнего примера.
СО РАН (отделение) обязано.
Директор – должность, академик – звание, доктор наук – ученая степень. Наименования ученых степеней и ученых званий и почетные звания выступают в общем ряду как однородные приложения. А должность и звание – неоднородные приложения. Поэтому первая запятая не нужна, вторая нужна: директор Института Европы РАН академик РАН, д. э. н. Николай Шмелев.
Приставка раз- пишется перед гласной и перед звонкой согласной: разоружить, разбить. Приставка рас- пишется перед глухой солгасной: рассорить, растратить.
Лучше всего использовать такой вариант: Совет при Учреждении Российской академии наук «Вычислительный центр РАН».
Возможны оба варианта. Выбор предлога зависит от контекста.