Склоняются оба слова: Дед Мороз, Деда Мороза, Деду Морозу...

Правильно: о привлечении к административной ответственности гр. Морозовой.

Правильны оба варианта.

Верно в р. п.: директора Морозовой Тамары.

Верно: ...по улице Советской.

Обратите внимание, что оборот шествие прошло стилистически небезупречен, его лучше заменить.

Монастырь называется так: Крыпецкий Иоанно-Богословский монастырь. Если нужно назвать монастырь по имени его основателя, то в принципе можно сказать Саввино-Крыпецкий (ср.: Саввино-Сторожевский монастырь), хотя это название на практике неупотребительно.

Да, это просторечные формы слов.

Вы написали правильно.

Правила таковы: имена прилагательные, обозначающие индивидуальную принадлежность, пишутся с прописной буквы, если они образованы от собственных имён при помощи суффикса -ов (-ев) или -ин: Юлина юбка, Машины пирожки (в составе фразеологических оборотов такие прилагательные пишутся со строчной буквы: ахиллесова пята, сидорова коза). Если же соответствующие прилагательные имеют в своём составе суффикс -ск-, они пишутся со строчной буквы: пушкинские стихи, петровские преобразования, булгаковский стиль.