Устойчивое сочетание: мозговой штурм.
Лучше писать мозговой штурм.
В качестве устойчивого выражения используется второй вариант.
К настоящему времени этот оборот получил широкое распространение, поэтому писать его следует без кавычек.
Корректно во всех контекстах: постишемический.