Слово министерство пишется с большой буквы как первое слово официального названия учреждения: Министерство обороны Украины. Если полное официальное название не приводится, правильно написание строчными, например: в министерстве обороны пояснили...
В художественном тексте возможно написание строчными буквами.
Первая мировая война, Министерство образования и науки РФ.
С прописной следует написать Министерство культуры Украины, Министерство культуры России. А вот "наше министерство культуры" - со строчной.
См. ответ на вопрос № 277219.
Написание Министерство здравоохранения соответствует правилу: с прописной буквы пишется первое слово в официальном названии учреждения, организации, предприятия. Функция прописной буквы – не придать «важность» слову, а маркировать имя собственное.