Слово луна не употребляется здесь в терминологическом значении, поэтому пишется строчными: ничто не вечно под луной.
Обычно его пишут с маленькой буквы без кавычек: кровавая луна.
Верно: Луна во Льве.
В этом случае луна пишется со строчной буквы.
Следует писать с большой буквы (как и фазы Луны).
Правильно: Я гуляю по Луне. Слово Луна употреблено как название космического объекта.
Орфографический словарь
Большой толковый словарь
См. «Справочник по пунктуации».
Запятую ставить не нужно, так как оборот с союзом как имеет значение образа действия и его можно заменить наречием по-песьи.