Эти названия склоняются: в Лебяжьем, в Щучьем, из Лебяжьего, из Щучьего.
Кавычки нужны.
Если названия совпадают по форме с притяжательными прилагательными, то они склоняются как притяжательные прилагательные: жители Щучьего и Лебяжьего. В ответе на вопрос № 228862 ошибка, исправили.