Да, это 2-е склонение (по академической грамматике).
Определяем тип спряжения по ударным личным окончаниям: висишь, висит, висят; сидишь, сидит, сидят. Это окончания II спряжения. Если личные окончания ударные, мы при определении типа спряжения не обращаем внимания на неопределенную форму глагола.
Правильно: ко второй категории, к 2-й категории.
Спряжение этого глагола определяется по окончанию 3 лица множественного числа: выгляд-ят (2 спряжение). Подробнее см. в учебнике Е. И. Литневской, раздел Глагол.
Дельфинарий – существительное 2-го склонения (по школьной грамматике). Это слово мужского рода с нулевым окончанием.